Proporção Áurea e Número de Ouro



A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo é uma constante real algébrica irracional denotada por e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618. É um número que há muito tempo é empregado na arte. Também é chamada de: razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão. É freqüente a sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Giotto. Este número está envolvido com a natureza do crescimento. Phi (não confundir com o número Pi (π), quociente da divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu respectivo diâmetro), como é chamado o número de ouro, pode ser encontrado na proporção em conchas (o nautilus, por exemplo), seres humanos (o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), até na relação dos machos e fêmeas de qualquer colméia do mundo, e em inúmeros outros exemplos que envolvem a ordem do crescimento.

Justamente por estar envolvido no crescimento, este número se torna tão freqüente. E justamente por haver esta freqüência, o número de ouro ganhou um status de "quase mágico", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. Apesar deste status, o número de ouro é apenas o que é devido aos contextos em que está inserido: está envolvido em crescimentos biológicos, por exemplo. O fato de ser encontrado através de desenvolvimento matemático é que o torna fascinante.

DEFINIÇÃO ALGÉBRICA

 

A razão áurea é definida algebricamente como A equação da direita mostra que , o que pode ser substituído na parte esquerda.

Temos, assim.
  

Cancelando b em ambos os lados, temos



Multiplicando ambos os lados por nos dá



Finalmente, arrumando os termos da equação



encontramos que é uma equação quadrática da forma

 

Agora, basta resolver esta equação quadrática pela Fórmula de Bháskara



 


 

 

A única solução positiva desta equação quadrática é,



Que é o número da seqüência de Fibonacci.


Como é um número extraído da seqüência de Fibonacci, representa diretamente uma constante de crescimento. O número áureo é retirado das sucessivas divisões a partir do terceiro número desta sucessão numérica pelos seus antecessores. Os valores de tais divisões ficam oscilando em volta do número de ouro, porém a cada nova divisão os valores tornam-se cada vez mais próximos de 1,618, que é o valor da proporção áurea, ou seja, os resultados destas divisões convergem para o número áureo.













PROPORÇÃO ÁUREA NA NATUREZA

Por que esse número é tão apreciado por artistas, arquitetos, projetistas e músicos? Porque a proporção áurea, como o nome sugere, está presente na natureza, no corpo humano e no universo. Este número, assim como outros, por exemplo o Pi, estão presentes no mundo por uma razão matemática existente na natureza. Essa seqüência aparece na natureza, no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc.


FIGURAS GEOMÉTRICAS


Um decágono regular, inscrito numa circunferência, tem os lados em relação dourada com o raio da circunferência.

 pentagrama

O pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas interseções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadrado da razão áurea. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual a quarta potência da razão áurea. Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isósceles formado por A, C e D tem seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B e C tem sua base em relação dourada com os lados. Quando Pitágoras descobriu que as proporções no pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que "tudo é número", ou seja, que a natureza segue padrões matemáticos.

 

Semente de girassol

A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é a razão áurea.

Achillea ptarmica


Razão do crescimento de seus galhos.


Folhas das Árvores


A proporção em que se diminuem as folhas de uma arvore à medida que subimos de altura.


ANIMAIS


População de Abelhas


A proporção entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.


Concha do Caramujo Nautilus


A proporção em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. Este molusco bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação.


Outros


phi está também nas escamas de peixes, presas de elefantes e no crescimento de plantas.


CORPO HUMANO


As idéias de proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.


Proporções áureas em uma mão


 

A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.
A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.
A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.
A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.
O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta. A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.
A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão.

Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo Homem Vitruviano, obra de Leonardo Da Vinci.


O Homem Vitruviano,
de Leonardo da Vinci.


Aplicações


O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, nos projetos arquitetônicos e até mesmo na música.
A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Esta proporção estaria ali aplicada pelo motivo do autor representar a perfeição da beleza.

Em O Sacramento da Última Ceia de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm×167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nesta constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção os dava de retratar a realidade com mais perfeição.
A Mona Lisa de Leonardo da Vinci utiliza o número áureo nas relações entre seu tronco e cabeça, e também entre os elementos do rosto. .

LITERATURA


Na literatura o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.


Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro.


Virgílio em sua obra Eneida , construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.


RETÂNGULO DOURADO

Trata-se do retângulo no qual a proporção entre o comprimento e a largura é aproximadamente o número Phi, ou seja, 1,618, que reflete, inclusive, as proporções do Parténon.


Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides. Por exemplo, cada bloco da pirâmide era 1,618 vezes maior que o bloco do nível a cima. As câmaras no interior das pirâmides também seguiam essa proporção, de forma que os comprimentos das salas são 1,618 vezes maior que as larguras.


CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA


Um retângulo de ouro é facilmente obtido com compasso e régua por este método:


construcao geométrica

Construa um quadrado e desenhe uma linha dividindo-o ao meio.
Desenhar uma linha desde o ponto central até um dos cantos no lado oposto.
Usar essa linha como raio de uma circunferência para definir a altura do retângulo.
Completar o retângulo.

APLICAÇÃO EM ARQUITETURA E OUTRAS ARTES


O retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade. Este fato não é uma simples coincidência, já que muitos testes psicológicos demonstraram que o retângulo de ouro é de todos os retângulos o mais agradável à vista. Até hoje não se conseguiu descobrir a razão de ser dessa beleza, mas a verdade é que existem inúmeros exemplos onde o retângulo de ouro aparece. Até mesmo nas situações mais práticas do nosso quotidiano, encontramos aproximações do retângulo de ouro, é por exemplo o caso dos cartões de crédito, bilhetes de identidade, assim como a forma retangular da maior parte dos nossos livros.
Muitas embalagens têm a configuração do retângulo de ouro. O cartão de crédito tem um tamanho próximo do número de ouro. O retângulo de ouro está interligado com outros conceitos matemáticos, tais como séries infinitas, decágono regular, sólidos platônicos, espirais equiangulares e logarítmicas, limites, triângulo de ouro e pentágono.
Também os arquitetos e artistas da Grécia Antiga sentiram que a razão de ouro e o retângulo de ouro potenciavam o valor estético dos monumentos e das esculturas. Conheciam a razão de ouro, como construí-la, como obter aproximações e como usá-la para construir o retângulo de ouro. O Parthenon ilustra maravilhosamente o uso arquitetônico do retângulo de ouro.


Parthenon - Grécia

Quanto à arquitetura moderna, exemplos de edifícios projetados por Le Corbusier ou a sede das Nações Unidas, contêm elementos arquitetônicos na forma de retângulos de ouro.


Sede das Nações Unidas:
edifício com forma de retângulo de ouro

MÚSICA


O número de ouro está presente nas famosas Sinfonia nº 5 e Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach é que em seus solos curtos aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

CINEMA

O diretor russo Sergei Eisenstein se utilizou do número no filme O Encouraçado Potemkin para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.


OBJETOS ATUAIS


Atualmente essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram respeitar a proporção divina. A razão entre o comprimento e a largura de um Cartão de Crédito, alguns livros, Jornal, uma foto revelada, entre outros.


EFEITOS


Algumas das correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões sejam relacionadas a Phi, harmonizam-se com a glândula pineal, o que provocaria ou estimularia uma sensação de beleza e harmonia no ser humano.


REFERÊNCIAS



Le Corbusier, The Modulor, p. 35, in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section.

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